Question

設方程組

y2-x-1=0 x=3y+m

的解是

x=x1 y=y1

，

x=x2 y=y2

，x₁≠x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）是否存在這樣的實數m，使點（x₁，y₁）和點（x₂，y₂）在同一反比例函數的圖象上？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將x=3y+m代入上面的方程，根據根的判別式求出m的取值范圍．
（2）先假設點（x₁，y₁）和點（x₂，y₂）在同一反比例函數的圖象上，用反證法證明即可．

解答：解：（1）y²-3y-m-1=0，∵x₁≠x₂，x=3y+m，
∴y₁≠y₂∴△=3²+4（m+1）＞0，∴m＞-

13

4

（5分）
（2）不存在．
∵點（x₁，y₁）和點（x₁，y₁）在同一反比例函數的圖象上在
∴x₁y₁=x₂y₂，∴y₁（3y₁+m）=y₂（3y₂+m），
∴（y₁-y₂）[3（y₁+y₂）+m]=0，∵y₁≠y₂，
∴3（y₁+y₂）+m=0，∴m=-9，（5分）
不存在
注：無∵x₁≠x₂，x=3y+m，∴y₁≠y₂扣（2分）

點評：本題主要考查高次方程根與系數的關系以及反比例函數圖象上點的坐標特征，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．