Question

已知方程組

y2=4x y=2x+m

有兩組實數解

x=x1 y=y1

，

x=x2 y=y2

，且x₁≠x₂，x₁x₂≠0，設n=-

2

x1

-

2

x2

．
（1）求m的取值范圍；
（2）用含m的代數式表示n；
（3）是否存在這樣的m的值，使n的值為-2？如果存在，求出這樣的m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把②代入①消去y，得到關于x的一元二次方程，方程有兩個實數解，且x₁≠x₂，x₁x₂≠0，則△＞0，解不等式即可；
（2）根據（1）中的方程，由根與系數關系變形即可；
（3）將n-2代入（2）中的等式，求出符合題意的m的值即可．

解答：解：（1）把②代入①，得4x²+4（m-1）x+m²=0，
∵y²=4x≥0，
∴-（m-1）＞0，
解得m＜1，
∵方程有兩個實數解，且x₁≠x₂，x₁x₂≠0，
∴△＞0，即（4m-4）²-16m²＞0，
解得m＜

1

2

且m≠0，
∴m的取值范圍是m＜

1

2

且m≠0；

（2）由4x²+4（m-1）x+m²=0，
得x₁+x₂=1-m，x₁x₂=

m2

4

，
∴n=-

2

x1

-

2

x2

=-2（x₁+x₂）÷（x₁x₂）=

8m-8

m2

；

（3）m存在．
把n=-2代入n=

8m-8

m2

中，得-2=

8m-8

m2

；
整理，得m²+4m-4=0，解得m=-2±2

2

，
而m＜

1

2

且m≠0，
∴m=-2-2

2

．

點評：本題考查了二元二次方程組的解法．關鍵是消去一個未知數，轉化為一元二次方程，熟練運用一元二次方程的判別式，根與系數關系，解一元二次方程的知識解題．