Question

18．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，過點C作CE∥AD交AB于E，連接AC、DE，AC與DE交于點F．
（1）求證：四邊形AECD為平行四邊形；
（2）如果EF=2$\sqrt{2}$，∠FCD=30°，∠FDC=45°，求DC的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的定義即可得出四邊形AECD為平行四邊形；
（2）作FM⊥CD于M，由平行四邊形的性質得出DF=EF=2$\sqrt{2}$，由已知條件得出△DFM是等腰直角三角形，DM=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=2，由含30°角的直角三角形的性質和勾股定理得出CF=2FM=4，CM=2$\sqrt{3}$，得出DC=DM+CM=2+2$\sqrt{3}$即可．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四邊形AECD為平行四邊形；
（2）解：作FM⊥CD于M，如圖所示：
則∠FMD=∠FMC=90°，
∵四邊形AECD為平行四邊形，
∴DF=EF=2$\sqrt{2}$，
∵∠FCD=30°，∠FDC=45°，
∴△DFM是等腰直角三角形，
∴DM=FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF=2，CF=2FM=4，
∴CM=2$\sqrt{3}$，
∴DC=DM+CM=2+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，通過作輔助線構造直角三角形是解決問題（2）的關鍵．