Question

如圖, 在Rt△ABC中，∠C＝90º, AC＝9，BC＝12，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ. 點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）.

（1）直接用含t的代數式分別表示：QB＝__________, PD＝___________；
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（3）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻成為菱形，求點Q的速度.

Answer 1

(1)QB=12-2t,PD=t (2)t=秒，或t=3.6秒。（3）t=5秒，Q的速度為。

解析試題分析：解：（1）QB＝12－2t， PD＝.
（2）∵PD∥BC，當PD＝BQ時四邊形PDBQ為平行四邊形，
即12－2t＝，解得：（秒） （或秒）
∴存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形.
（3）∵t＝3.6時，BQ＝PD＝＝4.8，由△ABC∽△ADP，∴AD＝＝6， BD＝15－6＝9，
∴BD≠PD，∴不存在t使四邊形PDBQ為菱形.
設Q以每秒a個單位長度的速度運動，則PD＝, BD＝15－，QB＝12－at,
四邊形PDBQ為菱形時，有PD＝BD＝BQ，先由＝15－得t＝5
將t＝5代入12－at＝，解得
考點：平行四邊判定，菱形判定，相似三角形性質，直角三角形性質。
點評：熟知以上判定條件性質，在解答題目時要認真審題，有三問需結合已知一一作答，注意的是，二問有兩種情況，易遺漏，本題有一定的難度屬于中檔題。