Question

19．如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，∠CBD=30°，則圖中陰影部分的面積；
（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=12，tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由AB是直徑，可得∠ADB=90°，然后由∠CDA=∠CBD，求得∠CDO=90°，即可證得結論；
（2）由∠CBD=30°，可得△ADO是邊長為1的等邊三角形，繼而求得CD的長，然后由S_陰影=S_△CDO-S_扇形OAD求得答案；
（3）首先連接OE，由切線長定理可得ED=EB，OE⊥DB，繼而證得Rt△CDO∽Rt△CBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得CD的長，再利用勾股定理求解，即可求得答案．

解答 解：（1）證明：連OD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°．
又∵∠CDA=∠CBD，∠1=∠CBD，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線．

（2）∵∠CBD=30°，
∴∠1=30°，∠DOC=60°，∠C=30°．
∴△ADO是邊長為1的等邊三角形，
∴CD=$\frac{OD}{tanC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴S_陰影=S_△CDO-S_扇形OAD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．

（3）連接OE．
∵EB，CD均為⊙O的切線，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB．
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠OEB=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$．
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{OD}{BE}$=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=8．
在Rt△CBE中，設BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，
解得x=5．
即BE的長為5．

點評 此題屬于圓的綜合題．考查了切線的判定與性質、圓周角定理、切線長定理、相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．注意準確作出輔助線，利用方程思想求解是解此題的關鍵．