Question

如圖，直線l與x軸交于點P（1，0），與x軸所夾的銳角為θ，且tanθ=，直線l與拋物線（a＞0）相交于B（m，-3），D（3，n）
（1）求B、D兩點的坐標，并用含a的代數式表示b和c；
（2）①若關于x的方程有實數根，求此時拋物線的解析式；
②若拋物線（a＞0）與x軸交于A、C兩點，順次連接A、B、C、D得凸四邊形ABCD，問四邊形ABCD的面積有無最大值或最小值？若有，求出面積的最大值或最小值；若無，請說明理由．

Answer 1

解：（1）作DE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，
∵點P（1，0），tanθ=，D（3，n），
∴OP=1，OE=3，
∴PE=2，
在Rt△PDE中，tanθ=tan∠DPE==，
∴DE=3，
∴D點坐標為（3，3）；
∵B點坐標（m，-3），
∴BF=3，
在Rt△PBF中，tanθ=tan∠FPB==，
∴PF=2，
∴OF=1，
∴B點坐標為（-1，-3）；
把B（-1，-3）、D（3，3）代入得
，

解得b=-，c=--；
（2）①根據題意得△=（a）²-4（a²-a+）≥0，
∴（a-1）²≤0，
∴a-1=0，即a=1，
∴此時拋物線的解析式為y=x²-x-；
②四邊形ABCD的面積無最大值和最小值．理由如下：
AC==a=，
∵b=-，c=--，
∴AC==，
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=AC×3+AC×3=3AC，
∴S_{四邊形ABCD}=，
∵a＞0，
∴9a²+64沒有最大值，也沒有最小值，即，沒有最大值，也沒有最小值
∴四邊形ABCD的面積無最大值和最小值．
分析：（1）作DE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，在Rt△PDE中，利用正切的定義得到tanθ=tan∠DPE==，可求出DE=3，于是確定D點坐標為（3，3）；在Rt△PBF中用同樣方法可確定B點坐標為（-1，-3）；再把B（-1，-3）、D（3，3）代入得方程組，把它看作為關于b、c的方程組，解得b=-，c=--；
（2）①根據根的判別式得到△=（a）²-4（a²-a+）≥0，整理后得到（a-1）²≤0，根據非負數的性質得到a-1=0，即a=1，即可得到此時拋物線的解析式為y=x²-x-；
②利用拋物線與x軸兩交點的距離公式得到AC==a=，把b=-，c=--代入整理得到AC=，而S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=AC×3+AC×3=3AC，則S_{四邊形ABCD}=，由于a＞0，9a²+64沒有最大值，也沒有最小值，即，沒有最大值，也沒有最小值．
點評：本題考查了二次函數綜合題：二次函數y=ax²+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點式為y=a（x-）²+，當a＞0，y_最小值=；當a＜0，y_最，大值=；對于一元二次方程的根的判別式和三角函數的定義要熟練運用．