Question

3．如圖，AB是半圓O的直徑，點C是$\widehat{AB}$的中點，點D是$\widehat{AC}$的中點，連接AC、BD交于點E，則$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 根據平行線的性質證得，△ADF是等腰直角三角形，求得BD=$\sqrt{2}$+1，再證△ADE∽△BDA，得ED=$\sqrt{2}$-1，BE=2．即可得出結果．

解答 解：連接AD、CD，作AF∥CD，交BE于F，
∵點D是$\widehat{AC}$的中點，
∴可設AD=CD=1，
根據平行線的性質得∠AFD=∠CDF=45°．
∴△ADF是等腰直角三角形，
則AF=$\sqrt{2}$，BF=AF=$\sqrt{2}$．
∴BD=$\sqrt{2}$+1．
∵∠DAC=∠ABD，∠ADB=∠ADB，
∴△ADE∽△BDA，
∴DE=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1，BE=2．
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定，正確的作出輔助線是解題的關鍵．