Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點 D，其中點B的坐標為（3，0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小；若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點T，過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝－(x－1)2＋4；（2）四邊形DFHG的周長最小為；（3）點T的坐標為（， ）

【解析】試題分析：（1）設拋物線的解析式為： 然后將點的坐標代入函數解析式即可求得此拋物線的解析式；
（2）作關于軸的對稱點，連接交軸于，交對稱軸于 ，四邊形的周長即為最小，則根據題意即可求得這個最小值及點的坐標；
（3）首先設的坐標為 求得與的長，由平行線分線段成比例定理，求得的長，然后由相似三角形對應邊成比例，即可得 則可得到關于的一元二次方程，解方程即可求得答案．

試題解析：（1）設所求拋物線的解析式為： 依題意，將點代入，得：

解得：

∴所求拋物線的解析式為：

存在.如圖，

拋物線的對稱軸方程為：x=1，

∵點E的橫坐標為2，

∴y=4+4+3=3，

∴點E(2,3)，

∴設直線AE的解析式為：y=kx+b，

∴直線AE的解析式為：y=x+1，

∴點F(0,1)，

∵D(0,3)，

∴D與E關于x=1對稱,

作F關于x軸的對稱點F′(0,1)，

連接EF′交x軸于H，交對稱軸x=1于G，

四邊形DFHG的周長即為最小，

設直線EF′的解析式為：y=mx+n，

解得：

∴直線EF′的解析式為：y=2x1，

∴當y=0時,2x1=0,得

即

當x=1時，y=1，

∴G(1,1)；

∴DF=2,

∴使D.G,H、F四點所圍成的四邊形周長最小值為：

(3)存在.

設M(c,0)，

即

要使△DNM∽△BMD，

需 即

可得：

解得： 或c=3(舍去).

當時,

∴存在,點T的坐標為