Question

．如圖（1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足為D,點E在AC上,BE交CD于點G,EF⊥BE交AB于點F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n為實數).

試探究線段EF與EG的數量關系.

(1)   如圖（2）,當m=1,n=1時,EF與EG的數量關系是                  

證明:

(2)    如圖（3）,當m=1,n為任意實數時,EF與EG的數量關系是                  

證明

(3)   如圖（1）,當m,n均為任意實數時,EF與EG的數量關系是                  

(寫出關系式,不必證明)

 

Answer 1

（1）圖甲：連接DE，

∵AC=mBC，CD⊥AB，當m=1，n=1時

∴AD=BD，∠ACD=45°，

∴CD=AD=AB，

∵AE=nEC，

∴DE=AE=EC=AC，

∴∠EDC=45°，DE⊥AC，

∵∠A=45°，

∴∠A=∠EDG，

∵EF⊥BE，

∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，

∴∠AEF=∠DEG，

∴△AEF≌△DEG（ASA），

∴EF=EG．

（2）解：EF=EG證明：作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N，

∵EM∥CD，

∴△AEM∽△ACD，

∴

即EM=CD，

同理可得，EN=AD，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴tanA=，

∴，

又∵EM⊥AB，EN⊥CD，

∴∠EMF=∠ENG=90°，

∵EF⊥BE，

∴∠FEM=∠GEN，

∴△EFM∽△EGN，

∴，

即EF=EG；

（3）EF=EG．

解析:略