Question

如圖，已知：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=BC，又AE⊥BC于E
（1）求證：AD=AE；
（2）若∠B=60°，AD=3，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）首先過點C作CF⊥AB于點F，可得四邊形ADCF是矩形，則可得CF=AD，易證得△ABE≌△CBF，即可得AE=CF，即可證得AD=AE；
（2）由AE=AD=3，在Rt△ABE中，∠B=60°，利用三角函數的知識即可求得BE，AB的長，繼而求得CE的長，即可得AE是BC的垂直平分線，則可求得AC=AB．

解答：（1）證明：過點C作CF⊥AB于點F，
∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，
∴四邊形ADCF是矩形，
∴CF=AD，
在△ABE和△CBF中，
∵

∠AEB=∠CFB=90° ∠B=∠B AB=CB

，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，
∴AD=AE；

（2）解：連接AC，
∵AE=AD=3，
在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴AB=

AE

cos60°

=2

3

，BE=

AE

tan60°

=

3

，
∵BC=AB=2

3

，
∴CE=BE=

3

，
∵AE⊥BC，
∴AC=AB=2

3

．

點評：此題考查了直角梯形的性質、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及三角函數的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．