Question

7．觀察下列等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
把以上三個等式兩邊分別相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
（1）猜想并寫出：$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）規律應用：計算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$
（3）拓展提高：計算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2006×2008}$．

Answer 1

分析 （1）類比給出的數字特點拆分即可；
（2）把分數寫成兩個連續自然數為分母，分子為1的分數差計算即可；
（3）提取$\frac{1}{4}$，再把分數寫成兩個連續自然數為分母，分子為1的分數差計算即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$
=1-$\frac{1}{7}$
=$\frac{6}{7}$；
（3）$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2006×2008}$
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{1003}$-$\frac{1}{1004}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{1004}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{1003}{1004}$
=$\frac{1003}{4016}$．

點評 此題考查有理數的混合運算，根據數字的特點，掌握拆分的方法是解決問題的關鍵．