Question

如圖，直線y=2x與雙曲線y=

8

x

交于點A、E，直線AB交雙曲線于另一點B（2m，m），連接EB并延長交x軸于點F．
（1）m=

 

；
（2）求直線AB的解析式；
（3）求△BOF的面積；
（4）若點P為第一象限內一點，且以A，B，P，E為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出滿足條件的點P坐標．

Answer 1

分析：（1）將B點坐標代入雙曲線的解析式中，即可求得m的值．
（2）聯立直線AB和雙曲線的解析式，可求得點A、E的坐標，即可利用待定系數法求得直線AB的解析式．
（3）根據E、B的坐標，易得直線EB的解析式，即可求得點F的坐標；以OF為底、B點縱坐標的絕對值為高即可求得△OBF的面積．
（4）由于點P在第一象限，那么只有一種情況：BE為平行四邊形的對角線，易得BE中點的坐標，由于平行四邊形的對角線互相平分，BE中點即為AP的中點，可據此求出點P的坐標．

解答：解：（1）將B點坐標代入拋物線的解析式中得：

8

2m

=m，解得m=±2；
由于點B在第一象限，所以m＞0，故m=2．
∴B（4，2）．

（2）聯立直線AB和雙曲線的解析式得：

y=2x y= 8 x

，解得

x=2 y=4

，

x=-2 y=-4

；
∴A（-2，-4），E（2，4）；
設直線AB的解析式為：y=kx+b，則有：

4k+b=2 -2k+b=-4

，解得

k=1 b=-2

；
∴直線AB：y=x-2．

（3）∵E（2，4），B（4，2），
∴直線EB：y=-x+6，
∴F（6，0）；
∴S_△BOF=

1

2

OF•|y_B|=

1

2

×6×2=6．

（4）由于點P在第一象限，故只有一種情況：BE為平行四邊形的對角線；
取BE的中點M（3，3），由于平行四邊形的對角線互相平分，所以M也是AP的中點；
已知A（-2，-4），故P（8，10）．

點評：此題是反比例函數的綜合題，涉及到函數圖象交點坐標的求法、用待定系數法確定函數解析式的方法、圖形面積的求法以及平行四邊形的判定等知識，難度適中．