Question

如圖，已知∠AOB以O為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于F、E兩點，再分別以E、F為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線OP，過點F作FD∥OB交OP于點D。

（1）若∠OFD＝116°，求∠DOB的度數；
（2）若FM⊥OD，垂足為M，求證△FMO≌△FMD.

Answer 1

（1）32°；（2）根據角平分線的性質結合平行線的性質得到∠A0D=∠ODF，再根據垂直的定義可得∠OMF=∠DMF，再結合公共邊即可證得結論.

試題分析：（1）先根據平行線的性質求得∠A0B的度數，再根據角平分線的性質求解即可；
（2）根據角平分線的性質結合平行線的性質得到∠A0D=∠ODF，再根據垂直的定義可得∠OMF=∠DMF，再結合公共邊即可證得結論.
（1）∵OB∥FD，
∴∠0FD+∠A0B=18O°，
又∵∠0FD=116°，
∴∠A0B=180°－∠0FD=180°－116°=64°，
由作法知，0P是∠A0B的平分線，
∴∠D0B=∠A0B=32°；
（2）∵0P平分∠A0B，
∴∠A0D=∠D0B，
∵0B∥FD，
∴∠D0B=∠ODF，
∴∠A0D=∠ODF， 
又∵FM⊥0D，
∴∠OMF=∠DMF，
在△MFO和△MFD中，
∵∠OMF=∠DMF，∠A0D=∠ODF， FM=MF，
∴△MFO≌△MFD
點評：全等三角形的判定和性質是初中數學的重點，貫穿于整個初中數學的學習，再中考中極為重要，要熟練掌握.