Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且短軸的長(zhǎng)為2，離心率等于。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求證：為定值。

Answer 1

解：（I）設(shè)橢圓C的方程為，

則由題意知-------------------------------------------------------2分

解得，--------------------------------------------------------------------4分

∴橢圓C的方程為 ---------------------------------------------------5分

（II）證法1：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）. ------------------------------------------------------6分

顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線l的方程是，-----------7分

將直線的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得

------------------------------------------------9分

 -------------------------------------------10分

又

-------12分

【證法二：設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為

易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）. ------------------------------------------------------6分

∴------------7分

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得去分母整理得

 --------------------------------------------------------9分

同理，由可得---------------------------------10分

即     是方程                    的兩個(gè)根，-------------------12分】