Question

【題目】如圖①，拋物線y=a(x2+2x-3)(a≠0)與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且OC=OB.

(1)直接寫出點B的坐標是( ， )，并求拋物線的解析式；

(2)設點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸是直線l，連接BD，線段OC上的點E關于直線l的對稱點E'恰好在線段BD上，求點E的坐標；

(3)若點F為拋物線第二象限圖象上的一個動點，連接BF，CF，當△BCF的面積是△ABC面積的一半時，求此時點F的坐標.

Answer 1

【答案】(1)-3，0；y=-x2-2x+3；(2)（0，2）；(3)（-2，3）或（-1，4）

【解析】

（1）解方程a（x2+2x-3）=0可得B（-3，0），A（1，0），易得C（0，-3a），則利用OB=OC得到-3a=3，解得a=-1，從而得到拋物線解析式；

（2）如圖②，把一般式配方得到y=-（x+1）2+4，則D（-1，4），利用待定系數法求出直線BD的解析式為y=2x+6，設E（0，t），利用對稱的性質得E′（-2，t），然后把E′（-2，t）代入y=2x+6求出t，從而得到點E的坐標；

（3）易得直線BC的解析式為y=x+3，作FG∥y軸交直線BC于G，如圖③，設F（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），則G（x，x+3），所以FG=-x2-3x，利用三角形面積公式得到S△FBC=×3×（-x2-3x），然后利用△BCF的面積是△ABC面積的一半得到×3×（-x2-3x）=××4×3，然后解方程求出x從而得到F點的坐標．

（1）當y=0時，a（x2+2x-3）=0，解得x1=-3，x2=1，則B（-3，0），A（1，0），

當x=0時，y=-3a，則C（0，-3a），

∵OB=OC，

∴-3a=3，解得a=-1，

∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3；

故答案為-3，0；

（2）如圖，

∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴D（-1，4），

設直線BD的解析式為y=kx+b，

把B（-3，0）、（-1，4）代入得，解得，

∴直線BD的解析式為y=2x+6，

設E（0，t），

∵E′點與點E關于直線x=-1對稱，

∴E′（-2，t），

把E′（-2，t）代入y=2x+6得t=-4+6=2，

∴點E的坐標為（0，2）；

（3）易得直線BC的解析式為y=x+3，作FG∥y軸交直線BC于G，如圖，

設F（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），則G（x，x+3），

∴FG=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，

∴S△FBC=×3×（-x2-3x），

∵△BCF的面積是△ABC面積的一半，

∴×3×（-x2-3x）=××4×3，解得x1=-1，x2=-2，

∴F點的坐標為（-2，3）或（-1，4）．