Question

如圖，直線y=﹣x+8與x軸交于A點，與y軸交于B點，動點P從A點出發，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，同時動點Q從B點出發，以每秒1個單位的速度沿BA方向向點A勻速運動，當一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t≤3）．

（1）寫出A，B兩點的坐標；

（2）設△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數關系式；并求出當t為何值時，△AQP的面積最大？

（3）當t為何值時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，并直接寫出此時點Q的坐標．

Answer 1

解：（1）令y=0，則﹣x+8=0，

解得x=6，

x=0時，y=y=8，

∴OA=6，OB=8，

∴點A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，

∵點P的速度是每秒2個單位，點Q的速度是每秒1個單位，

∴AP=2t，

AQ=AB﹣BQ=10﹣t，

∴點Q到AP的距離為AQ•sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），

∴△AQP的面積S=×2t×（10﹣t）=﹣（t²﹣10t）=﹣（t﹣5）²+20，

∵﹣＜0，0＜t≤3，

∴當t=3時，△AQP的面積最大，S_最大=﹣（3﹣5）²+20=；

（3）若∠APQ=90°，則cos∠OAB=，

∴=，

解得t=，

若∠AQP=90°，則cos∠OAB=，

∴=，

解得t=，

∵0＜t≤3，

∴t的值為，

此時，OP=6﹣2×=，

PQ=AP•tan∠OAB=（2×）×=，

∴點Q的坐標為（，），

綜上所述，t=秒時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，此時點Q的坐標為（，）．