Question

18．如圖①，在 Rt△ABC中，AB=4，BC=3，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜120°）得△DBE，連接AD，EC，直線AD、EC交于點M．
（1）當α=30°時，∠BAD=75°．
（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形ABCM的面積是否存在最大值？若存在，求出四邊形ABCM面積的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若△ABC中，∠ABC=120°，其余條件不變，四邊形ABCM的面積是否存在最大值？若存在，求出四邊形ABCM面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等，即可解決問題．
（2）存在．首先證明∠AMC=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)AB=4，BC=3，可得AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，因為當△ACM的面積最大時，四邊形ABCM的面積最大，因為△ACM是直角三角形，AC=5，所以當AM=CM=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$時，△ACM的面積最大，最大值為=$\frac{25}{4}$，由此即可解決問題．
（3）存在．如圖②中，作AN⊥BC于N．首先證明∠AMC=60°，在Rt△ABN中，AB=4，∠ABN=60°，推出BN=$\frac{1}{2}$AB=2，AN=2$\sqrt{3}$，在Rt△ACN中，AC=$\sqrt{A{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{37}$，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，因為當△ACM的面積最大時，四邊形ABCM的面積最大，因為∠AMC=60°所以當△ACM是等邊三角形時，△ACM的面積最大，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵BA=BD，∠ABD=30°，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°．
故答案為75°．

（2）存在．理由如下，
如圖①中，

∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∵BA=BD，BC=BE，
∴∠BAD=∠BDA，∠BCE=∠BEC，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠BCE+∠BCM=180°，
∴∠BCM+∠BAM=180°，
∴∠ABC+∠AMC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠AMC=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴當△ACM的面積最大時，四邊形ABCM的面積最大，
∵△ACM是直角三角形，AC=5，
∴當AM=CM=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$時，△ACM的面積最大，最大值為=$\frac{25}{4}$，
∴四邊形ABCM的面積的最大值為$\frac{49}{4}$．

（3）存在．理由如下，
如圖②中，作AN⊥BC于N．

∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∵BA=BD，BC=BE，
∴∠BAD=∠BDA，∠BCE=∠BEC，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠BCE+∠BCM=180°，
∴∠BCM+∠BAM=180°，
∴∠ABC+∠AMC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠AMC=60°，
在Rt△ABN中，∵AB=4，∠ABN=60°，
∴BN=$\frac{1}{2}$AB=2，AN=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ACN中，AC=$\sqrt{A{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{37}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴當△ACM的面積最大時，四邊形ABCM的面積最大，
∵∠AMC=60°
∴當△ACM是等邊三角形時，△ACM的面積最大，最大值為=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•AC²=$\frac{37\sqrt{3}}{4}$，
∴四邊形ABCM的面積的最大值為$\frac{49\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查三角形綜合題、四邊形內(nèi)角和定理、勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明∠AMC是特殊角，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把求四邊形面積最大問題，轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大問題，屬于中考壓軸題．