Question

18．如圖，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點A，且OA=3OB，拋物線經過點（4，3），拋物線的頂點為點D．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）順次連接A、B、C、D，求四邊形ABCD的面積；
（3）如果點P在y軸上，且∠BPO=∠ABC，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）求出確定點B坐標，把B（-1，0），C（4，3）代入y=ax²+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{16a+4b+3=3}\end{array}\right.$，解方程組即可．
（2）首先證明AC∥x軸，根據S_{四邊形ABCD}=S_△ACB+S_△ACD計算即可．
（3）作AM⊥BC于M．根據S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{34}$•AM，推出AM=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，再求出BM，求出tan∠ABM=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{6}{7}$，由∠BPO=∠ABC，可知tan∠BPO=$\frac{BO}{OP}$=$\frac{6}{7}$，求出OP即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸的負半軸交于點B，與y軸交于點A，且OA=3OB，
∴A（0，3），OA=3，OB=1，
∴B（-1，0），
把B（-1，0），C（4，3）代入y=ax²+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{16a+4b+3=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{5}}\\{b=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{12}{5}$x+3．

（2）∵y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{12}{5}$x+3=-$\frac{3}{5}$（x-2）²+$\frac{27}{5}$，
∴頂點D（2，$\frac{27}{5}$）
∵A（0，3），C（4，3），
∴AC∥x軸，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACB+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{27}{5}$-3）=$\frac{54}{5}$．

（3）作AM⊥BC于M．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{34}$•AM，
∴AM=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，
在Rt△ABM中，AB=$\sqrt{10}$，AM=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$，
∴BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{34}}{17}$，
∴tan∠ABM=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{6}{7}$，
∵∠BPO=∠ABC，
∴tan∠BPO=$\frac{BO}{OP}$=$\frac{6}{7}$，
∴OP=$\frac{7}{6}$，
∴點P坐標（0，-$\frac{7}{6}$），根據對稱性可知P′（0，$\frac{7}{6}$）也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（0，$\frac{7}{6}$）或（0，-$\frac{7}{6}$）．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、待定系數法、三角形面積、銳角三角函數、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形，屬于中考常考題型．