Question

6．如圖，△ABC中，∠C=90°，三邊長分別為a，b，c，⊙O與△ABC的三邊均相切，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析 證出四邊形ODCE為正方形，根據正方形的判定和性質發現直角三角形的內切圓的半徑等于它的一條切線長，即可得出結果．

解答 解：設切點分別為D，E，F，連接OD，OE，如圖所示：
則OD⊥AC，OE⊥BC．
∵∠C=90°
∴四邊形ODCE為正方形，
∴CD=CE=r，AD=AF=b-r，BF=BE=a-r，而AF+BF=c，
∴b-r+a-r=c，
∴r=$\frac{a+b-c}{2}$．

點評 本題考查了三角形的內切圓、切線長定理、正方形的判定與性質；熟練運用切線長定理，能夠根據正方形的性質以及切線長定理推導出直角三角形內切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．