Question

(10分)如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）試說明AC=EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因為△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF；

（2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．

試題解析：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，

∴AB=2AF

∴AF=BC，

在Rt△AFE和Rt△BCA中，

，

∴△AFE≌△BCA（HL），

∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD，

∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

∴EF∥AD，

∵AC=EF，AC=AD，

∴EF=AD，

∴四邊形ADFE是平行四邊形．

考點：1.平行四邊形的判定2.全等三角形的判定與性質；