Question

已知x₁，x₂是關于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的兩個實數根．
（1）求x₁，x₂的值；
（2）若x₁，x₂是某直角三角形的兩直角邊的長，問當實數m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）化簡方程，用分解因式法求出兩根；
（2）直角三角形的面積為x₁x₂，利用根與系數的關系可以得到關于p的關系式，然后利用二次函數可以求出什么時候有最大值．
解答：解：（1）原方程變為：x²-（m+2）x+2m=p²-（m+2）p+2m，
∴x²-p²-（m+2）x+（m+2）p=0，
（x-p）（x+p）-（m+2）（x-p）=0，
即（x-p）（x+p-m-2）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2-p；

（2）根據（1）得到
直角三角形的面積為x₁x₂=p（m+2-p）
=p²+（m+2）p
=-（p-）²+，
∴當p=（m＞-2）時，以x₁，x₂為兩直角邊長的直角三角形的面積最大，最大面積為．
點評：本題是綜合性較強的題，利用了分解因式法求方程的根，利用了二次函數求最值．