Question

已知x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²=0的兩個實數(shù)根，使得（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80成立，求其實數(shù)a的可能值．

Answer 1

分析：由于x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²=0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²，然后把（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）乘開，接著整體代入前面等式的值即可得到關(guān)于a的方程，解方程即可求解．

解答：解：∵x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²=0的兩個實數(shù)根，a=1，b=（3a-1），c=2a²，
∴x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²，
而（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，
∴3x₁²-10x₁x₂+3x₂²=-80，
3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，
∴3[-（3a-1）]²-16×2a²=-80，
∴27a²-18a+3-32a²=-80，
∴5a²+18a-83=0，
∴a=

-9±4 31

5

，
當(dāng)a=

-9+4 31

5

時，方程x²+（3a-1）x+2a²=0的△＜0，
∴不合題意，舍去
∴a=

-9-4 31

5

．

點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．