Question

19、已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²-6x+k=0的兩個實數根，且x₁²x₂²-x₁-x₂=115．
（1）求k的值；
（2）求x₁²+x₂²+8的值．

Answer 1

分析：（1）方程有兩個實數根，必須滿足△=b²-4ac≥0，從而求出實數k的取值范圍，再利用根與系數的關系，x₁x₂-x₁-x₂=115．即x₁x₂-（x₁+x₂）=115，即可得到關于k的方程，求出k的值．
（2）根據（1）即可求得x₁+x₂與x₁x₂的值，而x₁²+x₂²+8=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+8即可求得式子的值．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-6x+k=0的兩個根，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=k，
∵x₁²x₂²-x₁-x₂=115，
∴k²-6=115，
解得k₁=11，k₂=-11，
當k₁=11時，△=36-4k=36-44＜0，
∴k₁=11不合題意
當k₂=-11時，△=36-4k=36+44＞0，
∴k₂=-11符合題意，
∴k的值為-11；
（2）∵x₁+x₂=6，x₁x₂=-11
∴x₁²+x₂²+8=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+8=36+2×11+8=66．

點評：總結：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
①△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
②△=0?方程有兩個相等的實數根；
③△＜0?方程沒有實數根．
（2）根與系數的關系是：x₁+x₂=$-frac{b}{a}$，x₁x₂=$frac{c}{a}$．
根據根與系數的關系把x₁²x₂²-x₁-x₂=115轉化為關于k的方程，解得k的值是解決本題的關鍵．