Question

20．如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點E，連結(jié)BC．
（1）求證：△AOC≌△BOD；
（2）求：∠AEB的大小；
（3）如圖2，△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞著點O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），則∠AEB的大小不變．（填“變”或“不變”）

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，則利用根據(jù)“SAS”判斷△AOC≌△BOD；
（2）利用△AOC≌△BOD得到∠CAO=∠DBO，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可得到∠AEB=∠AOB=60°；
（3）如圖2，與（1）的方法一樣可證明△AOC≌△BOD；則∠CAO=∠DBO，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可求出∠AEB=∠AOB=60°．

解答 （1）證明：如圖1，
∵△ODC和△OAB都是等邊三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠BOD=∠AOC=120°，
在△AOC和△BOD中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OA=OB}\end{array}\right.$
∴△AOC≌△BOD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°；
（3）解：如圖2，∵△ODC和△OAB都是等邊三角形，
∴OD=OC=OA=OB，∠COD=∠AOB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OA=OB}\end{array}\right.$
∴△AOC≌△BOD；
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
即∠AEB的大小不變．
故答案為不變．

點評 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；利用類比的方法解決（3）小題．