Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）E為拋物線上一動點，是否存在點E使以A、B、E為頂點的三角形與△COB相似？若存在，試求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】(1)、y=－+x+2；(2)、E點坐標為（0，2），（3，2）．

【解析】

試題分析：(1)、首先設出函數的解析式，然后利用待定系數法進行求解；(2)、首先根據題意判定△ABE只能是以點E為直角頂點的三角形，然后求出BC的長度，根據三角形相似求出點E的坐標.

試題解析：(1)、∵拋物線經過點C(0,2) ∴設該拋物線的解析式為y=a+bx+2

將A、B兩點坐標代入解析式得： 解得：

∴拋物線的解析式為：y=－+x+2

(2)、存在

由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4， ∴BC==．

在Rt△BOC中，設BC邊上的高為h，則×h=×2×4， ∴h=．

∵△BEA∽△COB，設E點坐標為（x，y）， ∴=，∴y=±2

將y=2代入拋物線y=－+x+2，得=0，=3．

當y=﹣2時，不合題意舍去．

∴E點坐標為（0，2），（3，2）．