Question

18．在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，點D為射線AB上一點，連接CD，過點C作線段CD的垂線l，在直線l上，分別在點C的兩側截取與線段CD相等的線段CE和CF，連接AE、BF．
（1）當點D在線段AB上時（點D不與點A、B重合），如圖1
①請你將圖形補充完整；
②線段BF、AD所在直線的位置關系為垂直，線段BF、AD的數量關系為相等；
（2）當點D在線段AB的延長線上時，如圖2
①請你將圖形補充完整；
②在（1）中②問的結論是否仍然成立？如果成立請進行證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①D在線段AB上時，在直線l上截取CE=CF=CD，即可畫出圖象．②在圖1中證明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．
（2）①D在線段AB延長線上時，在直線l上截取CE=CF=CD，即可畫出圖象．②在圖2中證明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．

解答 解：（1）①見圖1所示．
②證明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCF，
∴∠ACD=∠BCF
∵BC=AC，CD=CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，
即BF⊥AD．
故答案為：垂直、相等．
（2）①見圖2所示．
②成立．理由如下：
證明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
即∠ACD=∠BCF，
∵BC=AC，CD=CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，
即BF⊥AD．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、兩條直線垂直的證明方法，尋找全等三角形是解決問題的關鍵．