Question

如圖，在⊙M中，弧AB所對的圓心角為120°，已知⊙M的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標系．
（1）求圓心M的坐標；
（2）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（3）點D是弦AB所對的優弧上一動點，求四邊形ACBD的最大面積．

Answer 1

解：（1）連MA，MB，
∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120°
∴∠BMO=∠AMB=60°
∴∠OBM=30° 2分
∴OM=MB=1 1分
∴M（0，1）1分

（2）∵OC=MC-MO=1 OB==
∴C（0，-1）B（，O） 2分
∵經過A，B，C三點的拋物線關于y軸對稱
∴設經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+c 1分
把C（0，-1）和（，0）分別代入上式
得：a=，c=-1 1分
∴y=x²-1． 1分

（3）∵S_{四邊形ACBD=}S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC與AB均為定值1分
∴當△ABD邊上的高最大時，S_△ABD最大，
此時點D為⊙M與y軸交點，由于⊙M的半徑為2cm，OM=1cm
∴OD=3cm，
此時S_{四邊形ACBD=}S_△ABC+S_△ABD=×2×1+×2×3=+3=4cm²．
分析：（1）連接MA，MB，根據等腰三角形的性質可知∠AMO=AMB=60°，由直角三角形的性質可求出M點的坐標．
（2）根據△AOM與△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B兩點的坐標，因為A、B兩點關于y軸對稱，故此拋物線關于y軸對稱，根據此特點可設出拋物線的解析式，把A、B兩點的坐標代入即可求出未知數的值，從而求出其解析式．
（3）因為四邊形ACBD的面積等于△ABC與△ABD的面積之和，而△ABC的面積為定值，△ABD的底邊長為定值，故當△ABD的高最長時四邊形的面積最大．根據直徑是最長的弦可知當D在y軸上時△ABD的高最長．根據三角形的面積公式及圓的半徑長可計算出四邊形的面積．
點評：本題考查的是圓的性質及二次函數圖象上點的坐標特點，比較復雜，但難度適中．