Question

如圖，在⊙O中，弧DC=弧DN，點P為⊙O上一點，過D作CN的平行線交PN，PC的延長線于A，B，過P作PM∥AB交DC的延長線于M，
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若PN=3AN的值，求

PD

DM

．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由弧DC=弧DN，則知OD⊥CN，又知到AB∥CN，故能證明OD⊥AB，
（2）連接DN，先證△DCP∽△DPM，得到

PD

DM

=

CD

PD

，再證△ADN∽△APD，得到AD=2AN，最后得到

PD

DM

的值．

解答：（1）證明：連接OD，
∵弧DC=弧DN，
∴OD⊥CN，
∵AB∥CN，
∴OD⊥AB，
∴AB為⊙O切線．

（2）解：連接DN，
∵

DC

=

DN

，
∴∠DCN=∠CPD，
又PM∥AB，CN∥AB，
∴CN∥MP，
∴∠DCN=∠M，
∴∠DPC=∠M，又∠CDP=∠PDM，
∴△DCP∽△DPM，
∴

PD

DM

=

CD

PD

，
∵∠DAN=∠PAD，∠ADN=∠APD，
∴△ADN∽△APD，得到AD=2AN，
又

AN

AD

=

DN

PD

=

CD

PD

=

1

2

，
即

PD

DM

=

1

2

．

點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．