Question

12．如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，BC與⊙O相切，B為切點(diǎn)，OP與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．點(diǎn)C在OP上，且BC=PC．
（1）求證：OP⊥AD；
（2）若OA=3，AB=2，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OB，利用切線的性質(zhì)定理和已知條件證明∠AOP=90°即可；
（2）連結(jié)DB．由AD是⊙O的直徑，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽R(shí)t△AOP，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可得到和AP有關(guān)的比例式，把已知數(shù)據(jù)代入可求出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BP的長(zhǎng)；

解答 （1）證明：如圖，連接OB，
∵BC切⊙O于B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠CBP+∠OBA=90°．
∵BC=PC，
∴∠CBP=∠P，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠A+∠P=90°，
∴∠AOP=90°．
∴OP⊥AD；
（2）解：如圖，連結(jié)DB．
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△AOP，
∴$\frac{AB}{AO}=\frac{AD}{AP}$，
即$\frac{2}{3}=\frac{6}{AP}$，
解得：AP=9，
∴BP=AP-BA=9-2=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圓周角定理的運(yùn)用，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．