Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，點D從B點出發，沿射線CB方向以每秒3個單位長度的速度運動，射線MP⊥射線CB，且BM＝10，點Q從M點出發，沿射線MQ方向以每秒a個單位長度的速度運動，已知D、Q兩點同時出發，運動時間為t秒．

（1）當t＝2時，△DMQ是等腰三角形，求a的值．

（2）求t為何值時，△DCA為等腰三角形．

（3）是否存在a，使得△DMQ與△ABC全等，若存在，請直接寫出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a＝2；（2）t＝1，，時，△DCA為等腰三角形；（3）當△DMQ與△ABC全等時，a＝，，，．

【解析】

（1）當t＝2時，DB＝6，得到DM＝4，由于△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，得到DM＝MQ，于是得到a＝2；

（2）①當AC＝AD時，△DCA為等腰三角形，得到BD＝BC＝3，求得t＝1，②當AC＝CD＝4時，△DCA為等腰三角形，得到BD＝1，于是得到t＝，③當AD＝CD＝3+3t時，△DCA為等腰三角形，根據勾股定理列方程即可得到t＝，

（3）當△DMQ與△ABC全等，根據全等三角形的性質即可得到結論．

（1）當t＝2時，DB＝6，

∵BM＝10，

∴DM＝4，

∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，

∴DM＝MQ，

即4＝2a，

∴a＝2；

（2）①當AC＝AD時，△DCA為等腰三角形，

∵AB⊥CD，

∴BD＝BC＝3，

∴t＝1，

②當AC＝CD＝5時，△DCA為等腰三角形，

∵BC＝3，

∴BD＝1，

∴t＝，

③當AD＝CD＝3+3t時，△DCA為等腰三角形，

∵∠ABD＝90°，

∴AB2+BD2＝AD2，

即42+（3t）2＝（3+3t）2，

∴t＝，

綜上所述：t＝1，，時，△DCA為等腰三角形；

（3）當△DMQ與△ABC全等，

①△DMQ≌△ABC，

∴MQ＝BC＝3，DM＝AB＝4，

∵BM＝10，

∴BD＝6或BD＝14，

∴t＝2或t＝，

∴a＝，a＝；

②△DMQ≌△CBA，

∴DM＝BC＝3，MQ＝AB＝4，

∴BD＝7或13，

∴t＝或，

∴a＝或，

綜上所述：當△DMQ與△ABC全等時，a＝，，，．