Question

如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點E在AB邊上（不與點A，B重合），點F在BC邊上（不與點B，C重合）．

第一次操作：將線段EF繞點F順時針旋轉，當點E落在正方形上時，記為點G；

第二次操作：將線段FG繞點G順時針旋轉，當點F落在正方形上時，記為點H；

依次操作下去…

（1）圖2中的△EFD是經過兩次操作后得到的，其形狀為　 　，求此時線段EF的長；

（2）若經過三次操作可得到四邊形EFGH．

①請判斷四邊形EFGH的形狀為　 　，此時AE與BF的數量關系是　 　；

②以①中的結論為前提，設AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數關系式及面積y的取值范圍；

（3）若經過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數是多少？它可能是正多邊形嗎？如果是，請直接寫出其邊長；如果不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如題圖2，由旋轉性質可知EF=DF=DE，則△DEF為等邊三角形．

在Rt△ADE與Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）

∴AE=CF．

設AE=CF=x，則BE=BF=4﹣x

∴△BEF為等腰直角三角形．

∴EF=BF=（4﹣x）．

∴DE=DF=EF=（4﹣x）．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE²+AD²=DE²，即：x+4²=[（4﹣x]²，

解得：x₁=8﹣4，x₂=8+4（舍去）

∴EF=（4﹣x）=4﹣4．

DEF的形狀為等邊三角形，EF的長為4﹣4．

（2）①四邊形EFGH的形狀為正方形，此時AE=BF．理由如下：

依題意畫出圖形，如答圖1所示：

由旋轉性質可知，EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH的形狀為正方形．

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3．

∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠2=∠4．

在△AEH與△BFE中，

∴△AEH≌△BFE（ASA）

∴AE=BF．

②利用①中結論，易證△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均為全等三角形，

∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x．

∴y=S_{正方形ABCD}﹣4S_△AEH=4×4﹣4×x（4﹣x）=2x²﹣8x+16．

∴y=2x²﹣8x+16（0＜x＜4）

∵y=2x²﹣8x+16=2（x﹣2）²+8，

∴當x=2時，y取得最小值8；當x=0時，y=16，

∴y的取值范圍為：8≤y＜16．

（3）經過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數是8，它可能為正多邊形，邊長為4﹣4．

如答圖2所示，粗線部分是由線段EF經過7次操作所形成的正八邊形．

設邊長EF=FG=x，則BF=CG=x，

BC=BF+FG+CG=x+x+x=4，解得：x=4﹣4．