Question

11．對于任意一個多位數，如果他的各位數字之和除以一個正整數n所得的余數與他自身除以這個正整數n所得余數相同，我們就稱這個多位數是n的“同余數”，例如：對于多位數1345，1345÷3=448…1，且（1+3+4+5）÷3=4…1，則1345是3的“同余數”．
（1）判斷四位數2476是否是7的“同余數”，并說明理由．
（2）小明同學在研究“同余數”時發現，對于任意一個四位數如果是5的“同余數”，則一定滿足千位、百位、十位這三位上數字之和是5的倍數．若有一個四位數，其千位上的數字是十位的上數字的兩倍，百位上的數字比十位上的數字大1，并且該四位數是5的“同余數”，且余數是3，求這個四位數．

Answer 1

分析 （1）用2476除以7找出其余數，再將2476各數字相加除以7找出其余數，比較后即可得出結論；
（2）設該四位數為$\overline{abcd}$（a、b、c、d均為非0的一位正整數），根據各位數字之間的關系可列出關于a、b、c、d的四元一次方程組，解之即可得出結論．

解答 解：（1）2476是7的“同余數”，理由如下：
∵2476÷7=353…5，（2+4+7+6）÷7=2…5，
∴2476是7的“同余數”．
（2）設該四位數為$\overline{abcd}$（a、b、c、d均為非0的一位正整數），
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{b=c+1}\\{a+b+c=5n}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{b=c+1}\\{a+b+c=5n}\\{d=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\\{c=1}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\\{c=1}\\{d=8}\end{array}\right.$，
∴該四位數為2213或2218．

點評 本題考查了因式分解的應用，讀懂題意弄明白“同余數”的概念是解題的關鍵．