Question

如圖：已知⊙O中，AB=4

3

，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30°．求圓中陰影部分所圍成圓錐的高．

Answer 1

分析：先利用同弧所對的圓周角等于所對的圓心角的一半，求出扇形的圓心角為120度，直接根據圓錐的側面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得圓錐的底面圓的半徑，進而利用勾股定理得出即可．

解答：解：過O作OE⊥AB于E，則
AE=

1

2

AB=2

3

．
在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=

AE

OA

．
∴OA=

AE

cos30°

=

2 3

3 2

=4．
又∵OA=OB，
∴∠ABO=30°．
∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，
∴

BC

=

CD

．
∴∠COD=∠BOC=60°．
∴∠BOD=120°．
設圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，
∴2πr=

120

180

π×4．
∴r=

4

3

，
∴陰影部分所圍成圓錐的高為：

42-( 4 3 )2

=

8 2

3

．

點評：本題主要考查了圓錐的側面展開圖與底面周長之間的關系和垂徑定理等知識，求出圓的半徑是解題關鍵．