Question

（2013•蓮湖區一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒．△AMN的最大面積是

180

13

平方米

．

Answer 1

分析：首先過點N作NH⊥AC于點H，由在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米，利用勾股定理即可求得AB的長，設運動時間為t秒，可表示出AM的長，然后由相似三角形的對應邊成比例，可表示出NH的長，然后由二次函數的最值，求得答案．

解答：解：過點N作NH⊥AC于點H，
∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米，
∴AB=

BC2+AC2

=13（米），
設運動時間為t秒，
∴CM=t（米），AM=AC-CM=12-t（米），AN=2t（米），
∵∠A=∠A，∠NHA=∠C=90°，
∴△ANH∽△ABC，
∴

AN

AB

=

NH

BC

，
即

2t

13

=

NH

5

，
∴NH=

10

13

t，
∴S_△AMN=

1

2

AM•NH=

1

2

（12-t）×

10

13

t=-

5

13

（t-6）²+

180

13

．
∴△AMN的最大面積是

180

13

平方米．
故答案為：

180

13

平方米．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理以及二次函數的最值問題．此題難度適中，屬于動點問題，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．