Question

17．已知一次函數y=x+4的圖象與二次函數y=ax（x-2）的圖象相交于A（-1，b）和B，點P是線段AB上的動點（不與A、B重合），過點P作PC⊥x軸，與二次函數y=ax（x-2）的圖象交于點C．
（1）求a、b的值
（2）求線段PC長的最大值；
（3）若△PAC為直角三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據自變量與函數值的對應關系，可得b，根據待定系數法，可得a；
（2）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；
（3）根據勾股定理，可得AP，CP的長，根據勾股定理的逆定理，可得關于m的方程，根據解方程，可得m的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

解答 解：（1）∵A（-1，b）在直線y=x+4上，
∴b=-1+4=3，
∴A（-1，3）．
又∵A（-1，3）在拋物線y=ax（x-2）上，
∴3=-a•（-1-2），
解得：a=1．
（2）設P（m，m+4），則C（m，m²-2m）．
∴PC=（m+4）-（m²-2m）
=-m²+3m+4
=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∵（m-$\frac{3}{2}$）²≥0，
∴-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$≤$\frac{25}{4}$．
∴當m=$\frac{3}{2}$時，PC有最大值，最大值為$\frac{25}{4}$．
（3）如圖，
P（m，m+4），C（m，m²-2m），
AP²=（m+1）²+（m+4-3）²=2（m+1）²，AC²=（m+1）²+（m²-2m-3）²，PC²=（-m²+3m+4）²．
①當AP²+AC²=PC²時，即2（m+1）²+（m+1）²+（m²-2m-3）²=（-m²+3m+4）²，
3（m+1）²+[（m²-2m-3）²-（-m²+3m+4）²]=0
化簡，得（m+1）（m+1）（m-2）=0，
解得m=-1（不符合題意，舍），m=2，
當m=2時，m+4=6，即P（2，6）；
②當AP²=AC²+PC²時，即2（m+1）²=（m+1）²+（m²-2m-3）²+（-m²+3m+4）²，
化簡，得
（m-4）（m+1）（m+1）（m-3）=0．
解得m=4（不符合題意，舍），m=-1（不符合題意，舍），m=3，
當m=3時，m+4=7，
即（3，7），
綜上所述：若△PAC為直角三角形，點P的坐標為P₁（2，6），P₂（3，7）．

點評 本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式；利用平行于y軸的直線上兩點間的距離得出二次函數是解題關鍵；利用勾股定理的逆定理得出關于m的方程式解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．