Question

已知：如圖1，點P在⊙O外，PC是⊙O的切線、切點為C，直線PO與⊙O相交于點A、B．

（1）試探求∠BCP與∠P的數量關系；
（2）若∠A=30°，則PB與PA有什么數量關系？
（3）∠A可能等于45°嗎？若∠A=45°，則過點C的切線與AB有怎樣的位置關系？（圖2供你解題使用）
（4）若∠A＞45°，則過點C的切線與直線AB的交點P的位置將在哪里？（圖3供你解題使用）

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理可知∠BCP=∠A，由三角形內角和定理即可求出答案；
（2）根據圓周角定理可知∠BCP=∠A=30°，則∠ACP=120°，∠P=30°，連接OC，則OA=OB=BP=BC，故PA=3PB；
（3）若∠A不可以等于45°，根據圓周角定理可知∠1=45°，過點C的切線與AB平行；
（4）若∠A＞45°，則根據圓周角定理可知∠1＞45°，∠PCA＜45°，過點C的切線與直線AB的交點P在AB的反向延長線上．

解答：解：（1）∠BCP=∠A，∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP=

90°-∠P

2

；（3分）

（2）若∠A=30°，
∴∠BCP=∠A=30°，
∴∠P=30°
∴PB=BC，BC=

1

2

AB?PB=

1

3

PA或PA=3PB；（6分）

（3）∠A不可以等于45°，
如圖所示，當∠A=45°時，過點C的切線與AB平行；（8分）


（4）若∠A＞45°，則過點C的切線與直線AB的交點P在AB的反向延長線上．

點評：本題考查的是圓周角定理及平行線的性質，屬較簡單的題目．