Question

已知：如圖1，點O₁在x軸的正半軸上，⊙O₁與x軸交于C、D兩點，半徑為4的⊙O與x軸的負半軸交于G點．⊙O與⊙O₁的交點A、B在y軸上，設⊙O₁的弦AC的延長線交⊙O于F點，連接GF，且AF=2

2

GF
（1）求證：C為線段OG的中點；
（2）連接AO₁，作⊙O₁的弦DE，使DE∥AO₁，求E點的坐標；
（3）如圖2，線段EA、EB（或它們的延長線）分別交⊙O于點M、N．問：當點E在（不含端點A、B）上運動時，線段MN的長度是否會發生變化？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）證明：連接AG，易得△AGC∽△AFG，又AF=2

2

GF，可得⊙O的半徑為4，則AG=4

2

，
GC=2=

1

2

OG，即可得結論；
（2）連接OE交AO₁于點H，作EK⊥CD于K，易得Rt△AOO₁≌Rt△CHO₁，又由O₁H∥DE，且CO₁=O₁D，可得ED=2HO₁=6，有三角函數的定義可得EK與OKD的值，進而可得點E的坐標；
（3）當點E在上運動時，MN的長度不變；易得△EMN∽△EBA，進而連接AN，則AN⊥BE，∠ANE=90°，

EN

AE

=cos∠E，MN=AB•cos∠E=8cos∠E，分析可得結論．

解答：（1）證明：連接AG，
∵OA⊥OG，OA=OG，
∴∠AGC=∠AFG=45°，∠GAC=∠FAG，
∴△AGC∽△AFG，
又AF=2

2

GF，
∴

AG

GC

=

AF

FG

=2

2

，
∵⊙O的半徑為4，
∴AG=4

2

，
∴GC=2=

1

2

OG，
即點C為線段OG的中點；

（2）解：連接OE交AO₁于點H，作EK⊥CD于K，
∵AO₁∥ED，DE⊥CE，
∴O₁A⊥CE，
∵OA=4，OC=

1

2

OG=2，OA²=OC×OD，
∴OD=8，O₁O=3，
∴Rt△AOO₁≌Rt△CHO₁，
∴O₁H=O₁O=3，
又∵O₁H∥DE，CO₁=O₁D，
∴ED=2HO₁=6，
∴sin∠EDK=sin∠AO₁O=

4

5

，cos∠EDK=

3

5

，
在Rt△EDK中，EK=ED×sin∠EDK=6×

4

5

=

24

5

，
KD=ED×cos∠EDK=6×

3

5

=

18

5

，
OK=OD-KD=

22

5

，
故，點E的坐標為（

22

5

，

24

5

）；

（3）解：當點E在上運動時，MN的長度不變；
在△EMN和△EBA中，∵∠E=∠E，∠EMN=∠EBA，
∴△EMN∽△EBA．
∴

MN

BA

=

EN

EA

，
即MN=

EN

EA

×AB，
連接AN，則AN⊥BE，∠ANE=90°，

EN

AE

=cos∠E，MN=AB×cos∠E=8cos∠E，
當點E在上運動時，∠E的大小不變，8cos∠E是常量，故MN的長度不變．

點評：本題主要考查弦切角定理，相似三角形的判定及平行線的性質，難度較大．