Question

7．如圖，正比例函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)M（-2，m）
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P為y軸上的一點(diǎn)，當(dāng)∠MPN=90°時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn)，且滿足△MQN的面積為4，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把M點(diǎn)坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式可求得m的值，可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得反比例函數(shù)解析式；
（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（0，y），可表示出PM、PN和MN，利用勾股定理可得到關(guān)于y的方程，可求得y的值，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)Q（x，0），則可表示OQ的長(zhǎng)，利用S_△MQN=S_△MOQ+S_△NOQ可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵M(jìn)（-2，m）在正比例函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x的圖象上，
∴m=-$\frac{1}{2}$×（-2）=1，
∴M（-2，1），
∵M(jìn)在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=-2×1=-2，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y=-$\frac{2}{x}$；

（2）聯(lián)立正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴N（2，-1），
設(shè)P（0，y），且M（-2，1），
∴PM²=2²+（y-1）²=y²-2y+5，PN²=2²+（y+1）²=y²+2y+5，MN²=（2+2）²+（-1-1）²=20，
∵∠MPN=90°，
∴PM²+PN²=MN²，
∴y²-2y+5+y²+2y+5=20，解得y=±$\sqrt{5}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\sqrt{5}$）或（0，-$\sqrt{5}$）；

（3）如圖，過(guò)M作MC⊥x軸，ND⊥x軸，垂足分別為C、D，

則MC=ND=1，
設(shè)Q（x，0），則OQ=|x|，
∴S_△MQN=S_△MOQ+S_△NOQ=$\frac{1}{2}$OQ•MC+$\frac{1}{2}$OQ•ND=$\frac{1}{2}$|x|×2=|x|，
∴|x|=4，解得x=4或x=-4，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）或（-4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、勾股定理、三角形的面積及方程思想等知識(shí)．在（1）中求得M點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出PM、PN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）中用Q點(diǎn)的坐標(biāo)表示出△MQN的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．