Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，2），點B從坐標原點O出發，沿x軸負半軸運動，以AB為邊作等邊三角形ABC（A，B，C按逆時針順序排列），當點B在原點O時，記此時的等邊三角形為△AOC₁．
（1）求點C₁的坐標；
（2）連接CC₁，求證：△AOB≌△AC₁C；
（3）求動點C所在圖象的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）過點C₁作C₁H⊥y軸于H，則OH=AH=1，利用勾股定理求出HC₁的長即可解決問題．
（2）根據兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等即可證明．
（3）由△AOB≌△AC₁C，推出∠BOA=∠CC₁A=90°，推出動點C的圖象是一條直線，設CC₁交y軸于點M，想辦法求出點M的坐標，利用待定系數法即可解決問題．

解答 解：（1）過點C₁作C₁H⊥y軸于H，則OH=AH=1，
∴C₁H=$\sqrt{{C}_{1}{O}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C₁（$\sqrt{3}$，1）．

（2）∵△ABC和△AOC₁都是等邊三角形，
∴BA=CA，OA=C₁A，∠BAC=∠OAC₁=60°，
∴∠BAO=∠CAC₁，
在△AOB和△AOC₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAO=∠CA{C}_{1}}\\{AO=A{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CAC₁．

（3）∵△AOB≌△AC₁C，
∴∠BOA=∠CC₁A=90°，
∴動點C的圖象是一條直線，設CC₁交y軸于點M，
∵∠C₁OA=∠AC₁O=60°，
∴∠OMC₁=∠OC₁M=30°，
∴OM=OC₁=2，
∴M（0，-2），
設直線CC₁的函數解析式為y=kx+b，代入C（$\sqrt{3}$，1），M（0，-2），得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴動點C所在圖象的函數解析式為y=$\sqrt{3}$x-2（x≤$\sqrt{3}$）

點評 本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、一次函數、待定系數法等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，發現動點C的運動圖象是直線是解題的突破點，屬于中考壓軸題．