Question

20．已知正方形ABCD，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當DQ+BP=PQ時，則∠QAP=45°．

Answer 1

分析 將△ADQ繞點A順時針旋轉90°得到△ABE，根據旋轉的性質可得BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，由PQ=PB+DQ，推出PE=PQ，再利用“邊邊邊”證明△APE和△APQ全等，根據全等三角形的性質即可解決問題．

解答 解：證明：如圖，將△ADQ繞點A順時針旋轉90°得到△ABE，
由旋轉的性質得，BE=DQ，AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵PQ=PB+DQ，
∴PE=PQ，
在△APE和△APQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{AE=AQ}\\{PE=PQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APQ（SAS），
∴∠PAE=∠PAQ=$\frac{1}{2}$∠QAE=45°，
故答案為45°．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，利用旋轉作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．