Question

如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊△ADE

（1）求∠CAE的度數；
（2）取AB邊的中點F，連結CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形.

Answer 1

（1）∠CAE=30°；（2）∠FAE=90°，四邊形AFCE是矩形

解：∵△ABC是等邊三角形，且D是BC中點，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°；
∵△DAE是等邊三角形，
∴∠DAE=60°；
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；           
（2）證明：∵△BAC是等邊三角形，F是AB中點，
∴CF⊥AB；
∴∠BFC=90°
由（1）知：∠CAE=30°，∠BAC=60°；
∴∠FAE=90°；
∴AE∥CF；            
∵△BAC是等邊三角形，且AD、CF分別是BC、AB邊的中線，
∴AD=CF；
又AD=AE，
∴CF=AE；            
∴四邊形AFCE是平行四邊形；
∵∠FAE=90°，
∴四邊形AFCE是矩形．