Question

19．如圖，在⊙O內接四邊形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=6，E、F分別是AD、CD的中點，連接BE、BF、EF．若四邊形ABCD的面積為11$\sqrt{3}$，則△BEF的面積為5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接AC，過B作EF的垂線，由題意△ABC是等邊三角形，易得△ABC的面積，高BN和△ADC的面積，三角形ABC與三角形ACD同底，利用面積比可得它們高的比，而MN又是△ACD以AC為底的高的一半，可得MN，易得BM，由中位線的性質可得EF的長，利用三角形的面積公式可得結果．

解答 解：如圖，連接AC，作BM垂直EF于M，交AC于N．

∵AE=ED，DF=FC，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵BM⊥EF，
∴BM⊥AC，
∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AB=BC=AC=6，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=9$\sqrt{3}$，
∵四邊形ABCD的面積為11$\sqrt{3}$，
∴S_△ADC=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC：S_△ADC=9：2，
∴BN：MN=9：1，
∵BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，EF=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴S_△EFB=$\frac{1}{2}$•EF•BM=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{10\sqrt{3}}{3}$=5$\sqrt{3}$
故答案為$5\sqrt{3}$；

點評 此題主要考查了等邊三角形的判定和性質、三角形的中位線定理、三角形面積的運算，作出恰當的輔助線得到三角形的底和高是解答此題的關鍵．