Question

（本題滿分10分）在△ABC中，∠A＝90°，點D在線段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F．

（1）當AB＝AC時，（如圖1），

①∠EBF＝ °

②探究線段BE與FD的數量關系，并加以證明；

（2）當AB＝kAC時（如圖2），求的值（用含k的式子表示）．

 

Answer 1

（1）①∠EBF=22.5°；②FD=2BE；（2）．

【解析】

試題分析：（1）①根據題意可判斷△ABC為等腰直角三角形，據此即可推斷∠C=45°，進而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度數．

②根據題意證明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性質，得到BE與FD的數量關系．

（2）首先證明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性質得到BE與FD的數量關系．

試題解析：（1）①∵AB=AC∠A=90°，∴∠ABC=∠C=45°，

∵∠EDB=∠C，∴∠EDB=22.5°，∵BE⊥DE，∴∠EBD=67.5°，∴∠EBF=67.5°﹣45°=22.5°；

②在△BEF和△DEB中，∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5°，∴△BEF∽△DEB，

如圖：作BG平分∠ABC，交DE于G點，∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形，

設EF=x，BE=y，則：BG=GD=，FD=，

∵△BEF∽△DEB，∴，即：，得：，

∴FD=，∴FD=2BE．

（2）過點D作DG∥AC，交BE的延長線于點G，與BA交于點N，

∵DG∥AC，∴∠GDB=∠C，

∵∠EDB=∠C，∴∠EDB=∠GDE，

∵BE⊥DE，∴∠BED=∠DEG，DE=DE，∴△DEG≌△DEB，

∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，∴△GBN∽△FDN，

∴，即，

又∵DG∥AC，∴△BND∽△BAC，∴，即，∴．

考點：1．相似三角形的判定與性質；2．角平分線的性質；3．等腰直角三角形．