Question

（2013•珠海）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為m、4m（m＞0），D為邊AB的中點，一拋物線l經過點A、D及點M（-1，-1-m）．
（1）求拋物線l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點E，若拋物線l與線段CE相交，求實數m的取值范圍；
（3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標．

Answer 1

分析：（1）設拋物線l的解析式為y=ax²+bx+c，將A、D、M三點的坐標代入，運用待定系數法即可求解；
（2）設A′D與x軸交于點Q，過點A′作A′N⊥x軸于點N．根據軸對稱及平行線的性質得出DQ=OQ=x，則A′Q=2m-x，OA′=m，在Rt△OA′Q中運用勾股定理求出x，得出A′點坐標，運用待定系數法得到直線OA′的解析式，確定E點坐標（4m，-3m），根據拋物線l與線段CE相交，列出關于m的不等式組，求出解集即可；
（3）根據二次函數的性質，結合（2）中求出的實數m的取值范圍，即可求解．

解答：解：（1）設拋物線l的解析式為y=ax²+bx+c，
將A（0，m），D（2m，m），M（-1，-1-m）三點的坐標代入，
得

c=m 4m2a+2mb+c=m a-b+c=-1-m

，解得

a=-1 b=2m c=m

，
所以拋物線l的解析式為y=-x²+2mx+m；

（2）設A′D與x軸交于點Q，過點A′作A′N⊥x軸于點N．
∵把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，
∵矩形OABC中，AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOQ，
∴∠A′DO=∠DOQ，
∴DQ=OQ．
設DQ=OQ=x，則A′Q=2m-x，
在Rt△OA′Q中，∵OA′²+A′Q²=OQ²，
∴m²+（2m-x）²=x²，
解得x=

5

4

m．
∵S_△OA′Q=

1

2

OQ•A′N=

1

2

OA′•A′Q，
∴A′N=

m• 3 4 m

5 4 m

=

3

5

m，
∴ON=

OA′2-A′N2

=

4

5

m，
∴A′點坐標為（

4

5

m，-

3

5

m），
易求直線OA′的解析式為y=-

3

4

x，
當x=4m時，y=-

3

4

×4m=-3m，
∴E點坐標為（4m，-3m）．
當x=4m時，-x²+2mx+m=-（4m）²+2m•4m+m=-8m²+m，
即拋物線l與直線CE的交點為（4m，-8m²+m），
∵拋物線l與線段CE相交，
∴-3m≤-8m²+m≤0，
∵m＞0，
∴-3≤-8m+1≤0，
解得

1

8

≤m≤

1

2

；

（3）∵y=-x²+2mx+m=-（x-m）²+m²+m，

1

8

≤m≤

1

2

，
∴當x=m時，y有最大值m²+m，
又∵m²+m=（m+

1

2

）²-

1

4

，
∴當

1

8

≤m≤

1

2

時，m²+m隨m的增大而增大，
∴當m=

1

2

時，頂點P到達最高位置，m²+m=（

1

2

）²+

1

2

=

3

4

，
故此時拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標為（

1

2

，

3

4

）．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，軸對稱的性質，勾股定理，兩個函數交點坐標的求法，二次函數、矩形的性質，解不等式組等知識，綜合性較強，有一定難度．（2）中求出A′點的坐標是解題的關鍵．