Question

15、若關于x的方程mx²-2（m+2）x+m+5=0無實根，則關于x的方程（m-6）x²-2（m+2）x+m=0的根的情況是

當m=6時，方程有且只有一個實根；當m＞4且m≠6時，它有兩個不等實根．

．

Answer 1

分析：由關于x的方程mx²-2（m+2）x+m+5=0無實根，得△=4（m+2）²-4m（m+5）＜0，即-4m+16＜0，即m＞4；對于方程（m-6）²-2（m+2）x+m=0，分兩種情況：若m=6，則它是一次方程，顯然，此時有且只有一個解；若m≠6，則它是一元二次方程，則△=4（m+2）²-4m（m-6）=4（10m+4），可判斷方程有兩個不相的實根．最后綜合回答即可．

解答：解∵方程mx²-2（m+2）x+m+5=0無實根．
∴△=4（m+2）²-4m（m+5）＜0，即-4m+16＜0，
∴m＞4，
對于方程（m-6）²-2（m+2）x+m=0，
若m=6，則它是一次方程，顯然，此時有且只有一個解；
若m≠6，則它是一元二次方程，則△=4（m+2）²-4m（m-6）=4（10m+4），
由m＞4，則有4（10m+4）＞0，即△＞0．
故當m＞4且m≠6時，此方程有兩個不相的實根．
所以當m=6時，方程（m-6）x²-2（m+2）+m=0有且只有一個實根；當m＞4且m≠6時，它有兩個不等實根．
故答案為當m=6時，方程有且只有一個實根；當m＞4且m≠6時，它有兩個不等實根．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了一元一次方程和一元二次方程的定義以及分類討論思想的運用．