Question

（2013•懷集縣二模）如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F兩點，再分別以E，F為圓心，大于

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EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．
（1）根據題意，利用直尺與圓規，把圖補充完整，若∠ACD=114°，求∠MAB的度數；
（2）利用直尺與圓規作CN⊥AM，垂足為N，交AB于Q，求證：四邊形AQMC是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據題目要求畫出圖形，再根據平行線的性質可得：∠CAB=180°-114°=66°，再根據角平分線的性質可得：∠MAB=

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∠CAB=33°；
（2）首先證明AC=CM，再證明△ACN≌△AQN可得AC=AQ，進而得到CM=AQ，再有CM∥AQ可得四邊形AQMC是平行四邊形，再有條件AC=CM可證明四邊形AQMC是菱形．

解答：解：（1）把圖補充完整（保留痕跡），
由AB∥CD，得∠CAB+∠ACD=180°
所以：∠CAB=180°-114°=66°，
由作圖，得：AD是∠CAB的平分線，
所以：∠MAB=

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∠CAB=33°；

（2）證明：利用直尺與圓規作CN⊥AM，垂足為N（保留痕跡），
∵AB∥CD，
∴∠DAB=∠CDA
又∵AD是∠CAB的平分線，
∴∠DAB=∠CAD，
∴AC=CM，
在△ACN與△AQN中，

∠CAN=∠QAN AN=AN ∠ANQ=∠ANC=90°

，
∴△ACN≌△AQN（ASA），
∴AC=AQ，
∴CM=AC=AQ．
又∵AB∥CD，
∴四邊形AQMC是菱形．

點評：此題主要考查了復雜作圖，關鍵是根據題意正確畫出圖形，掌握菱形的判定定理．