Question

（2013•懷集縣二模）（1）根據兩點坐標，構造直角三角形，求出兩直角邊的長，然后再求斜邊的長．

兩點坐標	構造 直角三角形	一直角邊長	另一直角 邊長	斜邊長
A（1，-2） B（4，2）	RT△ABC	AC=4-1=3	BC=2-（-2）	AB= (4-1)2+(2-(-2))2 =5
M（-4，2） N（1，-3）	RT△ MPN	PN=1-（-4）=5	PM=2-（-3）=5	MN= [1-(-4)]2+[2-(-3)]2 =5 2

（2）觀察表格中的關系，探究任意兩點坐標P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）與P₁、P₂之間的距離P₁P₂有什么關系？并證明你的結論．
（3）求函數y=

(x-1)2+4

+

(x-4)2+4

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用點的坐標得出線段長度即可；
（2）利用已知得出P₁P=x₂-x₁，P₂P=y₂-y₁，進而利用勾股定理得出公式即可；
（3）設x軸上有點P，利用點之間距離公式進而得出答案．

解答：解：（1）如圖所示：

兩點坐標	構造 直角三角形	一直角邊長	另一直角 邊長	斜邊長
A（1，-2） B（4，2）	RT△ABC	AC=4-1=3	BC=2-（-2）	AB= (4-1)2+(2-(-2))2 =5
M（-4，2） N（1，-3）	RT△MPN	PN=1-（-4）=5	PM=2-（-3）=5	MN= [1-(-4)]2+[2-(-3)]2 =5 2

（2）P₁P₂=

(x1-x2)2+(y2-y1)2

；
證明：構造直角三角形P₁P₂P，∠P=90°，
則P₁P=x₂-x₁，P₂P=y₂-y₁，
根據勾股定理，得P₁P₂=

(x1-x2)2+(y2-y1)2

；

（3）設x軸上有點P
因為y=

(x-1)2+4

+

(x-4)2+4

=

(x-1)2+[0-(-2)]2

+

(x-4)2+(0-2)2

=PA+PB≥AB
=

(4-1)2+[2-(-2)]2

=5，
所以函數y=

(x-1)2+4

+

(x-4)2+4

的最小值是5．

點評：此題主要考查了坐標圖形的性質以及兩點之間的距離公式，利用數形結合得出是解題關鍵．