Question

1．如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐
標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0），tan∠OAC=3；
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，且∠PAB=∠CAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以D、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正切函數(shù)，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)正切函數(shù)，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可得關(guān)于y的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解（1）∵拋物線y=ax²+bx-3與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC=3，
∴OA=1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
又點(diǎn)B（3，0），∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=x²-2x-3；
（2）∵∠PAB=∠CAB，
∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，
∵點(diǎn)P在x軸上方，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3（x+1），
∴3（x+1）=x²-2x-3，
得x=-1（舍去）或x=6，
當(dāng)x=6時(shí)，y=21，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，21）；
（3）如圖，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，y），
易得△ABC為∠ABC=45°的銳角三角形，所以△DCB也是銳角三角形，
∴點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方，
∴∠DCB=45°，
∴∠ABC=∠DCB，
∵AB=4，BC=$3\sqrt{2}$，DC=y+3，
①如果$\frac{DC}{AB}$=$\frac{BC}{BC}$，則$\frac{y+3}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
∴y=1，即點(diǎn)D（0，1），
②如果$\frac{DC}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$則$\frac{y+3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴y=$\frac{3}{2}$，即點(diǎn)D₁（0，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用正切函數(shù)得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用圖象上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式得出P點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似得出關(guān)于y的方程是解題關(guān)鍵，要分類(lèi)討論，以防遺漏．