Question

如圖，已知直徑與等邊△ABC的高相等的圓O分別與邊AB、BC相切于點D、E，邊AC過圓心O與圓O相交于點F、G．
（1）求證：DE∥AC；
（2）若△ABC的邊長為a，求△ECG的面積．

Answer 1

（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，∠C=60°；
∵AB、BC是圓O的切線，D、E是切點，
∴BD=BE，
∴∠BDE=60°，∠A=60°，有DE∥AC．

（2）分別連接OD、OE，作EH⊥AC于點H．
∵AB、BC是圓O的切線，D、E是切點，O是圓心，
∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC．
∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=

1

2

a．
∵圓O的直徑等于△ABC的高，得半徑OG=

3

4

a，
∴CG=OC+OG=

1

2

a+

3

4

a，
∵EH⊥OC，∠C=60°，
∴∠COE=30°，EH=

3

8

a；
∵S_△ECG=

1

2

CG•EH=

1

2

（

3

4

a+

1

2

a）•

3

8

a，
∴S△ECG=

3

64

a2+

3

32

a2=

3+2 3

64

a2．