Question

【題目】如圖，△ABC中,∠C=90°，⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)O為△ABC的外心，BC=6，AC=8．

（1）求⊙I的半徑；

（2）求線(xiàn)段OI的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)2;(2).

【解析】

（1）首先設(shè)⊙I的半徑為r，由△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，可求得AB的長(zhǎng)，又由S△ABC=ACBC=（AB+AC+BC）·r，即可求得答案；
（2）首先設(shè)⊙I與△ABC的三邊分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接ID，IE，IF，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可求得BD的長(zhǎng)，又由點(diǎn)O為△ABC的外心，可求得OB的長(zhǎng)，即可求得OD的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得答案．

（1）設(shè)⊙I的半徑為r，

∵△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，

∴AB==10，

∴S△ABC=ACBC=（AB+AC+BC）r，

∴r==2；

（2）設(shè)⊙I與△ABC的三邊分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接ID，IE，IF，

∴∠IEC=∠IFC=90°，

∵∠C=90°，

∴四邊形IECF是矩形，

∵IE=IF，

∴四邊形IECF是正方形，

∴CE=IE=2，

∴BD=BE=BC﹣CE=6﹣2=4，

∵點(diǎn)O為△ABC的外心，

∴AB是直徑，

∴OB=AB=5，

∴OD=OB﹣BD=5﹣4=1，

∴OI=．